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A mi Blog de Educación Matemática, espero, sea una matemática
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ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 2
Al parecer la mayoría de las personas procura evitar los problemas (claro diferente a la usual), deberíamos entender problemas, como algo intrigante, de horas interesantes dedicado a pensar, claramente, ello ha sido estímulo para el desarrollo de las matemáticas.
Hay que reconocer que en la enseñanza media, conforme pasa el tiempo, se van olvidando de plantear “verdaderos problemas”, hay estudio sobre esto; los ejercicios van socavando a los hermosos problemas formativos.
Para fijar ideas, en un ejercicio; conoces de antemano un camino para resolverlo, es una situación concreta, casi mecánica, ensayadas, de tareas bien definidas; en cambio en un problema, hay cuestiones más abiertas, sabes muy poco a dónde quieres ir, ignoras el camino, induce a leer varias veces para entenderlo; es allí cuando entra nuestra actitud mental positiva abierta y creativa.
De allí que para enfrentarnos a un problema, hay que plantearnos un reto, una curiosidad, ansiedad, actitud, dejar el miedo, tranquilidad, pensar correctamente. El factor tiempo es importante, habrán dificultades, lo importante es no abandonarlos, fortalecer nuestra concentración, cuando se logre resolver hay una gran satisfacción, un placer. Como bien señalara Descartes “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió para resolver otros problemas”. De manera que cada problema resuelto formará parte de nuestra experiencia para el futuro. La resolución de problemas tiene que ser el corazón de la matemática, es decir, la vida misma.
Aquí unos consejo para la solución de problemas: 1. Plantearse el reto de resolverlo 2. Se aprende por Ensayo-Error 3. Empezar por lo fácil 4. Reescribir el problema con tus propias palabras 5. Habla contigo mismo 6. Analizar el problema desde distintos formas 7. Revisa las distintas estrategias que conoces 8. Siempre mira hacia atrás 9. Deduce y saca conclusiones 10. Si es necesario haz un esquema, dibujos 11. No vacilar en volver al principio 12. De ser posible suponer lo contrario (reducción al absurdo) 13. Escribir la solución con suficiente claridad, lo podrías necesitar más tarde.
Finalmente, para aprender hay que poner en práctica de verdad, salir del nivel teórico; sino, sería una lástima, un conocimiento vacío, comprenderás, resolver problemas es un arte que se aprende con mucha paciencia, luego de muchos fracasos iniciales, al final vendrá una satisfacción personal que te llevará a madurar el pensamiento formal.
ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 1
Dice un proverbio Chino “Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada encuentra una excusa”. Para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta, entonces hay que enfatizar la enseñanza en el proceso de descubrimiento, dejar un poco la rutina simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a los estudiantes en la solución de problemas, el método de los cuatro pasos de George Polya (de larga vida, murió a los 97 años) tiene buenos resultados.
1. Entender el problema.- ¿Entiendes todo lo que dice? ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? ¿Distingues cuáles son los datos? ¿Sabes a qué quieres llegar? ¿Hay suficiente información? ¿Hay información extraña? ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
2. Configurar un plan.- Puedes usar las siguientes estrategias: Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). Usar una variable. Buscar un Patrón. Hacer una lista. Resolver un problema similar más simple. Hacer una figura. Hacer un diagrama. Usar razonamiento directo. Usar razonamiento indirecto. Usar las propiedades de los Números. Resolver un problema equivalente. Trabajar hacia atrás. Usar casos. Resolver una ecuación. Buscar una fórmula. Usar un modelo. Usar análisis dimensional. Usar coordenadas. Usar simetría.
3. Ejecutar el plan: Implementar las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema. Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (habrá un momento de lucidez, aprovecha). No tengas miedo de volver a empezar.
4. Mirar hacia atrás: ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? ¿Adviertes una solución más sencilla? ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Normalmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Entonces, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta.
Por otro lado, se debe aprovechar los Diez Mandamientos para los Profesores de Matemáticas: 1.- Interés en su materia. 2.- Conozca su materia. 3.- Trate de leer las caras de sus estudiantes; póngase por un momento usted mismo en el lugar de ellos. 4.- Dese cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno mismo. 5.- Dar a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico. 6.- Darle la oportunidad de aprender a conjeturar. 7.- Permítales aprender a comprobar. 8.- Advierta que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros. 9.- No muestre todo el secreto a la primera, deje que los estudiantes conjeturen antes. 10.- Sugiérales; trazar el camino para la solución.
FRACTALES
En realidad, el término fractal es reciente, sin embargo, ya se conocían conjuntos y curvas con propiedades fractales desde hace varios años. Estos conjuntos atrajeron a muchos matemáticos empeñados en explicar su curioso comportamiento. Los más estudiados son el conjunto de Cantor y las curvas de Koch y de Hilbert.
Así como otras ciencias, las Matemáticas utilizan modelos o imágenes cada vez más realistas que tratan de descubrir el mundo. Se inicia con modelos simples, continuos y perfectamente homogéneos, como un hilo, un fluido de densidad, temperatura y presión uniformes, pero resulta que en general, estos modelos no sirven, pues la realidad es muy irregular.
Sabemos que la geometría diferenciable estudia aquellas formas geométricas que cuando se observan en pequeño son lisas. Una curva diferenciable se comporta localmente como una recta. En la práctica, el modelo diferenciable será válido siempre que se estudie el objeto con un grado de aproximación mayor que un determinado valor mínimo que viene dado por el contexto. La utilidad de un determinado modelo viene dada por los valores mínimo y máximo considerados en las magnitudes que se estudian.
Entonces, la geometría diferenciable puede proporcionar modelos aceptables en casos en que es posible aproximar las formas geométricas más complejas usando otras más simples: rectas, planos, entre otros, pero aún así, el análisis que se efectúa es un análisis local perdiéndose la perspectiva global del objeto geométrico.
De manera que, la geometría fractal nos da un modelo alternativo para variadas formas reales sin que se pierda dicha perspectiva global, sin aproximar el objeto con otras formas geométricas extrañas a él y buscando su lógica interna.
La geometría fractal busca los aspectos geométricos que son invariantes con un cambio de escala. Para muchas formas reales es posible construir un modelo matemático que se puede expresar como el límite de un proceso geométrico iterativo que se repite indefinidamente. Cada iteración puede provocar una ruptura de la suavidad que conlleva la ausencia de diferenciabilidad del objeto límite.
La geometría fractal, además de no perder la perspectiva del objeto en cada escala de observación, realiza el análisis local del objeto sin la necesidad de suavidad del mismo, hecho que requería la geometría diferenciable.
En la actualidad los objetos fractales, pasa a formar parte representativa de la cultura de finales del siglo XX. Plantea situaciones interesantes para nuestros alumnos, el interés matemático llega incluso a nivel elemental, la curiosidad que despiertan las imágenes fractales, puede servir como elemento motivador para el estudio de estas teorías.
FRACTALES
El término fractal fue dado por Benoit Mandelbrot en 1977, esto es en su libro “The Fractal Geometry of Nature” , su intención era caracterizar ciertos objetos geométricos de estructura irregular. Se podía leer que Mandelbrot no daba una definición precisa sobre los fractales, más bien dio pautas claras que distinguían a los fractales mediante las tres propiedades siguientes:
a) Figuras que se repiten en sí mismas infinitas veces a distintas escalas (conjuntos autosemejantes).
b) Figuras con dimensión no entera (dimensión fractal).
c) Conjuntos que aparecen tras procesos iterativos infinitos.
Sus orígenes se remontan a principios del siglo XX y durante el desarrollo de la Teoría de la Medida con el estudio de conjuntos geométricos con propiedades aparentemente paradójicas.
En dichos conjuntos (curvas de Peano y Koch, conjunto de Cantor, triángulo de Sierpinski, etc.) parecía existir una discordancia entre su tamaño real y su configuración espacial como conjunto de puntos (curvas con área o con longitud infinita entre dos de sus puntos, etc.).
En su libro, Mandelbrot defendió la idea que se convertiría con el tiempo en la razón del crecimiento exponencial de las aplicaciones de los fractales y de la actual popularización del término: las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales.
En la realidad no existen los fractales, como tampoco existen rectas ni esferas; pero sirven para modelar objetos reales difícilmente tratables con los objetos de la geometría Euclidiana.
Hay una principal diferencia entre la geometría fractal y la geometría clásica. En la Geometría Fractal aparecen contornos quebrados (no diferenciable), difíciles de medir, mientras que en la Geometría Clásica aparecen contornos diferenciable.
El MUNDO MARAVILLO DEL ÁLGEBRA
El Álgebra es la herramienta mediante la cual se pueden resolver problemas de este mundo, llevándolos a otro mundo de fantasía e imaginación en donde dejan de ser problemas para convertirse en juegos. Cuando alguien plantea un problema en palabras, en donde intervengan cantidades, entonces la solución del mismo puede ser algo difícil de conseguir.
La matemática es un mundo abstracto de proposiciones simples y precisas en donde no debe haber ambigüedad alguna sobre sus juicios y enunciados. La matemática es limpia, clara, transparente y coherente. Lo opuesto a ella sería la ambigüedad, confusión, caos y desorden. El álgebra, por ser una de las ramas más importantes y fundamentales de la matemática, junto con la geometría y el análisis, goza de todas estas propiedades y por lo tanto es un método exacto y preciso de obtener soluciones a los problemas.
Pero es lamentable, se nos enseña cómo hacer las cosas, pero no el porqué. Debido a la falta de conocimientos y poca preparación pedagógica de algunos docentes el álgebra es presentada erróneamente como un conjunto de fórmulas y recetas, privada de motivación alguna o estímulo para el estudiante. Las innumerables aplicaciones del álgebra en la resolución de problemas de la vida real, han sido sustituidas en el aula por una serie de ejercicios simbólicos en donde hay que aplicar reglas y más reglas en una monotonía de letras sin sentido.
La verdadera enseñanza del álgebra debería ser algo completamente distinto. Cuando resolvemos un problema de álgebra estamos pasando del mundo real en donde hay objetos físicos a otro mundo imaginario, poblado de números, ecuaciones, símbolos, etc. Es el mundo maravilloso del álgebra en donde trabajamos y resolvemos de manera sencilla, como en un juego, nuestro problema. Luego pasamos al mundo real nuevamente para dar una interpretación concreta a la solución. Este proceso casi mágico mediante el cual nos evadimos temporalmente de la realidad, para regresar a ella victoriosos, ha cautivado la mente de todos los hombres, en todas las épocas y en todas las civilizaciones. Por esta razón el álgebra ha ocupado un lugar privilegiado entre las actividades más nobles del hombre.
NIVEL BÁSICO
De la misma manera que no se puede entender una película a la que empezamos a ver por la mitad, no podemos entender (apreciar ni disfrutar) del poder de las matemáticas. Así que comencemos por lo básico.
1. CONJUTOS NUMÉRICOS
Conjunto de los números reales, axiomas de campo, axiomas de orden, desigualdades, intervalos, valor absoluto, números complejos, ejercicios resueltos. Leer apuntes, Clic aquí:
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2. FUNCIONES: EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
Un poco de historia, función exponencial,, teorema y leyes de exponentes, gráfica de la función exponencial, el número e, funciones hiperbólicas, función logarítmica, gráfica de la función logaritmica, ejercicios resueltos. Leer apuntes, Clic aquí:
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7. FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS
Definiciones, funciones especiales, funciones polinómica, funciones definidas por intervalo, función racional, función mayor entero, función signo, funciones periódicas, funciones monótonas, funciones inyectivas, inversa de una función, modelos matemáticos, Clic aquí:
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8. LIMITES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
REAL
La idea intuitiva de límite, definición formal de limite, tereomas principales, formas indeterminadas, límites laterales, teorema de Sandwich, ejerccicios resueltos. Clic aquí:
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9. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
Definiciones básica, continuidad en un punto, continuidad en un intervalo, discontinuidad evitable, teoremas sobre continuidad, consecuencias, ejemplos, Clic aqui:
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10. DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
Interpretación geométrica, funciones derivables en un punto, teoremas sobre derivadas, Regla de Cadena, derivadas laterales, ecuación de la recta tangente y recta normal, relación entre continuidad y derivación, derivada implícita, derivadas de orden superior, ejemplos. Clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/apuntes_derivadas.pdf
11. APLICACIONES DE LA DERIVADA
Máximos y mínimos, Estremos absolutos, Extremos condicionados, Criterio de la primera derivada, Criterio de la segunda derivada, Trazado de curvas,Teorema de Rolle, Teorema del valor medio, la diferencial, problemas resueltos, problemas propuestos. Clic aquï:
http://alguborda.blogdiario.com/img/apuntes_aplic_derivadas.pdf
12. ASÍNTOTAS Y CURVAS
Asíntota de una curva, límites al infinito, álgebra de límites al infinito, límites al infinito para funciones racionales, límites infinitos, clasificación de las asintotas, posición relativa de la función respecto de las asíntotas, problemas resueltos, problemas propuestos. Clic aquï:
http://alguborda.blogdiario.com/img/apuntes_asintota_curvas.pdf
Comprendemos que, las matemáticas no tienen buena fama en nuestra sociedad, los mayores les respetan y los niños los temen. Pero, el desarrollo de las matemáticas es una gran aventura del pensamiento y de las ideas.
Se percibe que, cuando se enseña matemáticas, hay una tendencia a centrarse en aspectos técnicos, en cómo demostrar correctamente teoremas, entonces se desatienden un poco aspectos conceptuales.
Sugiero, como apoyo no descuidar la Geometría, pues, el aspecto conceptual de las matemáticas se puede trabajar bien con la geometría. Evitar el pensamiento de que la matemática son solo símbolos y formulas, y es mucho más que eso.
En el mundo serán muy pocos los lugares donde en educación en matemáticas, se trabaje la dualidad con problemas de historia y de epistemología.
Bueno, también cambiar nuestra forma de ser. La gente piensa que el matemático es inteligente y excelso, y se ha convertido en un ser sumamente soberbio y goza de saberse más inteligente y de no hacerse entender. Tenemos que romper con esta idea.
Durante la vida ¿Qué buscamos con la Matemática? la felicidad, claro, lo más importante es ser feliz y si tu lo eres no sabiendo matemática, pues debes ser un ser humano muy afortunado.
Si las matemáticas están atacando un gran problema, es que tiene una enorme capacidad de explicación de muchas situaciones de la vida social, entonces, la matemática a partir de la solución de problemas, ofrece la opción de explicación múltiple de la realidad. Para los que enseñamos, lo mejor de esta noble tarea, es ver crecer a los alumnos en el conocimiento matemático, es ver cómo cometen errores, cómo aprenden a abstraer y como aprenden a generalizar. Entonces hay ciertas cualidades personales y académicas que tienen que ver con la matemática misma y con el aspecto de método de cómo enseñarlas: conocimiento de filosofía, de psicología, de epistemología y de aspectos culturales y sociales de cómo se mueven las culturas.
Lo ideal sería conocer profundamente esta ciencia, si no cómo comprendemos la leyes físicas del universo. Aquí, R. Hogin nos demuestra que las matemáticas no son aburridas, aquí un video de muchas imágenes fractales, no tienes que saber mucha matemática, véanlo,
CLIC AQUI:
http://www.voolive.net/demostrado-las-matematicas-no-son-aburridas/2009/04/04/
LENGUAJE DEL UNIVERSO
Cualquier persona emplea la matemática de manera continua. Lo hace cuando mide el tiempo, el espacio, el peso o el dinero. También cuando hace aproximaciones, se orienta en la ciudad, optimiza situaciones, calcula precios o representa gráficamente datos numéricos en su cabeza.
Bueno, todos los actos cotidianos requieren de procedimientos matemáticos; desde un profesional, hasta la ama de casa que lleva su lista al mercado con el dinero justo y la casera que saca la cuenta por la venta de verduras.
En realidad la población maneja diariamente conceptos con contenidos matemáticos, muchas veces imperceptibles para el común. Señala, además, que el grado de escolarización de las personas no resulta determinante, porque eso no significa que sean buenos usuarios de la matemática en la vida real. A diario, hacemos infinitas reconversiones, sacamos diversas cuentas y calculamos mentalmente varias operaciones sin necesidad de haber culminado el colegio.
Por ejemplo un obrero maestro de obras, empieza su tarea diaria, construyendo edificios o un paso a desnivel en una avenida transitada, todas estas estructuras tienen fundamento en el desarrollo matemático que utilizan las personas con las que interactúa (obreros, ingenieros, arquitectos) y sus diferentes grados de intuición, rigurosidad, razonamiento analógico, aplicación funcional.
Para construir las obras en sí, se deben considerar muchos factores: objetivo del mismo, su función, metros cuadrados, número de habitaciones, número de ascensores, orientación del sol, presupuesto o plazo de tiempo. En suma, cálculos matemáticos. Como se hay matemática por todos lados, con razón, Galileo Galilei dijo: “la matemática es el lenguaje con el que Dios escribió el universo”.
Al parecer, nacemos con una mínima estructura aritmética basada en los números enteros con sus propiedades intuitivas de asociatividad, elemento cero y elemento opuesto, lo que nos familiariza desde muy temprano con el concepto algebraico de grupo.
Como Sabemos, la estructura de grupo, se formaliza hacia 1830 con los conceptos de E. Galois de dar un método de resolución de la ecuación de grado n por radicales, se aplica con bastante éxito en la economía, especialmente en los test que definen el mejor índice de precios al consumo.
Otro campo donde la matemática resulta útil es la biología, en la que se emplea la herramienta del análisis matemático para los complejos procesos biológicos. Dentro de esta perspectiva se emplean líneas de investigación en campos tan diversos como las interacciones genéticas del desarrollo temprano, la regulaciones metabólicas, las pautas epidémicas, la evolución prebiótica, las estructuras biomoleculares, las dinámicas de poblaciones y ecosistemas, las correlaciones existentes en las bases nucleótidas del ADN, entre otros.
En el campo de la contabilidad, se utilizan las ecuaciones diofánticas, o en la medicina, en la que modelos matemáticos ayudan a estudiar las redes neuronales lo que facilita la comprensión de los mecanismos cerebrales del aprendizaje.
En plena era de la información en la que vivimos, la teoría de códigos y criptología es una herramienta imprescindible para transmitir información, como las imágenes desde los satélites de forma segura. Las comunicaciones por telefonía móvil, las cámaras digitales, la predicción del tiempo, los ordenadores, Internet, el scanner, y un sinfín de tareas serían posibles sin la matemática. Como se ve, la matemática está presente y ahora.
LA ESCUELA IDEAL
Cuando las personas ven una obra de arte, cada cual identifica sus favoritas, ¿Pero en qué se diferencian emocialmente?.
Hay gente muy creativa que ve cosas que otros contemporáneos suyos no advierten. Eso es una clase de creatividad. Pero a la gente realmente creativa no le importa lo que el resto de la humanidad piense. Tiene una idea, quiere expresarla y busca el mejor medio para hacerlo. Y si no existe el medio, lo inventa. Intentar adivinar qué le gusta a la gente de su tiempo, o qué le gustará a la de las futuras generaciones no es un buen modo de ser creativo. Nadie puede controlar la creatividad. Es imposible decir que uno no quiere ser creativo si lo es, o viceversa.
Pero, no se debe confundir ser creativo con ser un experto. Eres experto si haces algo muy bien, pero eso no supone que tu acción sea particularmente novedosa. Hay muy buenos pintores que no son creativos porque no han cambiado nada en la forma en que pintaban sus predecesores y no han influido a los que vienen después.
En algunos ámbitos sociales el liderazgo está mal visto, sobre todo en la política. La gente suele tener muy mala impresión de los políticos porque los considera egoístas, ambiciosos, deshonestos, mentirosos. Pero el auténtico líder es el que puede cambiar el comportamiento de los demás; sobre todo en los momentos de crisis. Nadie necesita un líder cuando todo le va bien. Pero cuando hay un desastre es necesario que alguien te muestre lo que debes hacer, para bien o para mal.
El liderazgo es un trabajo muy duro, hay que tomar decisiones difíciles, olvidarse de muchas cosas personales, ser osado; en el fondo, el liderazgo y la creatividad son cosas muy parecidas. La única diferencia es que el líder influye directamente en las vidas de los demás y el creativo hace algo que influye en la forma en la que los demás lo hacen.
Cualquiera de nosotros puede asumir un liderazgo, según el círculo en que uno se mueva, evidentemente, sólo hay un líder de la política mundial pero alguien tiene que ser el líder de tu familia, o de tu comunidad de vecinos o de tu empresa, y no siempre es el padre, la madre o el jefe.
Un líder tiene que hablar al gran público como si lo hiciera a niños de cinco años. El mensaje básico tiene que ser muy simple. La audiencia está compuesta por gente con diferentes grados de educación, diferentes profesiones, orígenes, razas, cuando el mensaje es complicado el peligro de que el público se vuelva en busca de alguien que hable más claro.
Muchos pensarán que los líderes se crean desde la escuela. Tiene que ser un error, No es esa la función de la educación. Creo que la escuela ideal es aquella que enseña a aprender. El estudiante debe conocer cuáles son los temas más importantes que ofrece su cultura y desarrollar las herramientas necesarias para profundizar en aquellos que más le atraen durante su periodo de educación y durante el resto de su vida, deben leer un número reducido de obras, pero hacerlo en profundidad, aprendiendo a leer y a pensar sobre lo que han leído. Ya tendrán tiempo luego leer más libros.
EL CEREBRO MULTITAREA
Cuando realizamos la multitarea, cada mitad de nuestro cerebro se ocupa de un asunto diferente. Eso explicaría por qué podemos desenvolvernos relativamente bien si vemos la televisión a la vez que leemos un periódico, pero la cosa se complica si tratamos de mantener simultáneamente una conversación.
Esta conclusión, se debe al estudio realizado por: Sylvain Charron y Etienne Koechlin, utilizaron imágenes de resonancia magnética funcional para estudiar la actividad cerebral de 32 voluntarios mientras desempeñaban una, dos y tres tareas a la vez. Cuando se concentraban en una sola actividad, las dos mitades de una zona conocida como cingulado anterior y de la corteza premotora estaban activas. Sin embargo, al aplicarse en dos tareas simultáneas, la actividad del hemisferio cerebral izquierdo se relacionaba con la tarea principal, y la del derecho con la secundaria.
Los autores aseguran que la función del área frontal del cerebro, vinculada al razonamiento y la toma de decisiones, está limitada a desempeñar como máximo dos tareas al mismo tiempo.
Pienso que para que las tareas se resuelvan con éxito sería bueno "utilizar el menor número posible de redes neuronales". Focalizarse en varias tareas a la vez es un obstáculo para lograrlo teniendo en cuenta que la eficiencia es la clave de la supervivencia del género humano.
Sin embargo, hay que ser realista, a veces, es necesario hacer más de una tarea a la vez, lo importante es priorizar, jerarquizar el interés por las cosas y hacerlas según ese orden.
VIDEOS GRANDES MATEMÁTICOS 3 Desde Ica, Perú. Algunas palabras en relación a los Grandes matemáticos en la historia de la ciencia, una apreciación personal sobre algunas características, afición, perfiles de 20 matemáticos. La música peruana en la introducción se llama “cavilando” de un gran maestro “Manuelcha Prado” y por allí hay pequeña melodía del arpa de Luciano Quispe, un concertista de alto nivel, véanlo: http://www.youtube.com/watch?v=_LqQ5mNU6eg&list=UUzUlFPFZa50ldH8ZACmTBLA&index=41&feature=plcp
FELIZ NAVIDAD A TODO EL MUNDO
Que el niño Jesús con su llegada nos traiga mucha paz, esperanzas, amor, y que ilumine con su llegada a todos los más necesitados del mundo especialmente a todos los niños del mundo.
¡Feliz Navidad! Clic
http://www.youtube.com/watch?v=xMtuVP8Mj4o
http://www.youtube.com/watch?v=QTdzjSPZv8g&feature=related
FALLECIÓ BENOIT MANDELBROT
El padre de la geometría fractal
El matemático Benoît Mandelbrot, falleció en Massachusetts a los 85 años, nació en Polonia en 1924, en el seno de una familia judia., doctorado otorgado por la Universidad de París, se dirigió al Instituto de Estudios Avanzados en Princeton,por John von donde fue patrocinado Neumann. Mandelbrot regresó a Francia en 1955 y trabajó en el Centro Nacional de Investigación Científica. En 1958 se marchó a los Estados Unidos permanentemente y empezó su larga y más fructífera colaboración con IBM.
¿Pero por qué abarcó tanta variedad de disciplinas? Porque había descubierto la geometría fractal. Fractal (del latín fractus, ‘irregular’, ‘fragmentado’) es una palabra que acuñó el propio Mandelbrot para describir la repetición “infinita” de patrones geométricos a diferentes escalas, que muestran versiones cada vez más pequeñas de sí mismos.
Las partes pequeñas de un fractal, explicaba Mandelbrot, son semejantes al todo, al conjunto completo. Lo más interesante es que el matemático demostró que la mayoría de las formas de la naturaleza son fractales. Los fractales se han utilizado para explicar fenómenos atmosféricos, para analizar las redes vasculares y las redes neuronales del cuerpo humano, para calcular la longitud de las costas, para explicar el crecimiento de los cerebros de los mamíferos, Incluso en telecomunicaciones se han diseñado antenas fractales.
Los hallazgos de Mandelbrot también se aplican en artes visuales y en arquitectura, y se pueden entrever en la Quinta sinfonía de Beethoven y en la poesía de Emily Dickinson, por citar algunos ejemplos. Además, son necesarios para la compresión de imágenes digitales.
Con sus fractales, Mandelbrot se hizo tan popular que a sus charlas acudía todo tipo de artistas, lo que le valió el apodo de la “estrella de rock de las matemáticas”.
GALERIA DE FOTOS
LIBROS PARA LECTURA
Sugiero los siguientes libros como parte de su formación en Educación Matemática.
*ALICIA EN EL PAÍS DE LAS MARAVILLAS
LEWIS CARROLL
Es una delicia leer esta obra, una maravilla que combina la fantasía con la realidad, personajes carismáticos aparecen en la obra, de manera muy sutil se percibe ingredientes de lógica y matemática. A pesar de haber sido escrito a hace mucho tiempo (1871), su fantasía y belleza sigue cautivando a quienes lo leen.
Quizás pocos saben que Lewis Carroll es el seudónimo por el que es conocido en la historia de la literatura Charles Lutwidge Dodgson, quien era un lógico matemático, fotógrafo y escritor británico. Se podría explicar ahora, el porqué en la obra hay mucha matemática plasmada de una manera lúdica. Leer libro, clic:
* LAS AVENTURA MATEMÁTICAS DE DANIEL
DANNY PERLCH C.
Es conocido que la enseñanza tradicional de las matemáticas, aún persiste, el resultado es que los niños y jóvenes comprenden muy poco esta disciplina, frente a esta debilidad, el autor propone nuevas experiencias significativas.
La obra es una novela, el autor aporta un modelo didáctico que rompa esquemas tradicionales de enseñanza de la matemática, busca mejorar el trabajo pedagógico de los profesores, para esto recurre a las múltiples vivencias escolares. Leer libro, Clic:
*EL DIABLO DE LOS NÚMEROS
Hans Magnus Enzensberger
Un libro para todos aquellos que temen a la Matemática
A Robert no le gustan las Matemáticas, como sucede a muchas personas, porque no las acaba de entender. Pero una noche él sueña con un diablillo que pretende iniciarle en la ciencia de los números. Naturalmente, Robert piensa que es otra de sus frecuentes pesadillas, pero en realidad es el comienzo de un recorrido nuevo y apasionante a través del mundo de las Matemáticas. Leer libro, CLIC: http://www.librosmaravillosos.com/eldiablodelosnumeros/index.html
* PLANILANDIA
EDWIN A. ABBOTT
Una aventura conmovedora de matemáticas puras, una fantasía de espacios extraños poblados por figuras geométricas; figuras geométricas que piensan y hablan y tienen todas las emociones humanas.
Edwin A. Abbott es en realidad un maestro de escuela, pero con una visión extraordinaria sobre matemática puras. Resulta que Planilandia, es una aventura matemática absorbente en el plano, es decir, en dos dimensiones, en comparación a nosotros que nos movemos en un espacio de tres dimensiones. Leer libro, clic:
http://www.puntoyrayafestival.com/docs/Planilandia.pdf
* EL ASESINATO DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS
JORDI SIERRA I FABRA
La novela nos presenta a Adela, Luc y Nico, tres jóvenes alumnos de un colegio, a los que no les gusta las matemáticas, siendo ésta la única asignatura que no consiguen superar nunca, obteniendo en el resto de materias, buenas calificaciones. El profesor de estos, Felipe Romero, no está dispuesto a dejar pasar esta situación; les propone un juego con la finalidad de aprobar la asignatura, a la vez que les hace darse cuenta de sus propias habilidades en la materia.
El juego consiste en hallar, a través de la resolución de acertijos matemáticos y de ingenio, al hipotético asesino del profesor. Los tres amigos irán superando las diversas pruebas, descubriendo destrezas propias que desconocían y afianzando su amistad mediante el trabajo cooperativo en busca del bien común. Finalmente hallarán al “asesino”, que resulta ser el “malvado” director del centro. Claro, pero, todo ha resultado ser una treta, con la finalidad de motivarlos a la resolución de los enigmas propuestos. Al final, ellos aprueban el curso, y lo más importante, ha despertado en ellos el amor por las matemáticas, leer libro, clic: http://www.mediafire.com/?zn55m3n5mm5
* EL HOMBRE QUE CALCULABA
MALBA TAHAN
En un viaje por las exóticas tierras árabes y centrando la acción en tiempos remotos, un árabe dotado de una habilidad, fruto de su espíritu atento y observador, se halla sujeto a distintas pruebas que debe resolver con su talento matemático. Entre los intentos que se han hecho, ninguno tan feliz como este libro ameno, repleto de curiosidades que enseñan deleitando. Problemas que a primera vista parecen insolubles, son resueltos con lógica deducción por diversos sistemas.
Beramiz Samir es un hombre sabio, es un hombre de Paz que no busca el poder sino la tranquilidad de vivir una vida plena, intenta trasmitir historia en las que los seres humanos entienden en la vida no todo es cálculo, y que es en la búsqueda de un equilibrio sincero, real y justo, donde será posible hallar la felicidad de nuestro días. Leer libro, clic:
http://pregonandolaverdad.org/literatura/otros_libros/el-hombre-que-calculaba.pdf
kaymi llaqtayku ama qonqawaicho
- Nuestro pueblo, no me olvides-
EL PUEBLO DE CHOPCCA
Son tiempos de globalización, su influencia va matando cualquier rasgo diferencial que enriquece las culturas. En Huancavelica por los distritos de Yauli y Paucara, se encuentra la comunidad de Choppca o “Nación Chopcca”, como ellos prefieren llamarse.
Es una cultura bien representativa en esta región, su riqueza es conservar sus costumbres ancestrales, por siglos mantiene su identidad sociocultural, que fueron potenciándolo como un vehículo de integración y de afirmación. Los Chopcca, son descendiente de una etnia preincaica, hay mucha identidad en este pueblo traducida a fiestas y costumbres de la cultura Choppca, como la herranza, la qachua, el vigawantuy, el matrimonio y la actividad textil. El matrimonio chopcca (tasaracuy) es una representación muy singular, en cuanto a la marcación del ganado que es una celebración al "cumpleaños de los animales” es también invocación a la protección de los animales y es invocada a los cerros protectores y a la madre tierra (pacha mama).
Hoy en día el INC, se viene preocupando en crear un registro de las evidencias valiosas de este Pueblo. Algunas manifestaciones culturales y testimonios por sus propios pobladores, puedes encontrarlo en Youtube:
http://www.youtube.com/watch?v=vdwu20F9RwM
http://www.youtube.com/watch?v=D3isScf8sJY
Muy auténtico, los protagonistas son los mismo comuneros, hay mucha pobreza, pero una riqueza de mucho valor en su identidad, su conocimiento ancestral es fuerte. El gobierno debe prestar más atención a esta realidad.
La música tiene un especial encanto, la bandurria es el instrumento principal, la melodia es limpio como el aire andino, muy auténtico.
Florcita de Tinquerccasa
* Itana itana: http://www.youtube.com/watch?v=Xd30PTGd7O8
*Pawuarqamuy: http://www.youtube.com/watch?v=EWn1zIkklBY
*Cobre mina: http://www.youtube.com/watch?v=8SogePgHdJQ
*Mamallay taytallay: http://www.youtube.com/watch?v=wA_A24lt-LI
*Opaccha tinquerccasino: http://www.youtube.com/watch?v=ux2DYVoK3Fc
Hijos de Santa Ana de Chopcca
*Villancicos en Quechua:
http://www.youtube.com/watch?v=RJcOPDAn4NA
La Bandurria es un instrumento tocado con mucha maestría en Huancavelica, sonido telúrico andino.
Rolando Huacho
*Bandurria:
http://www.youtube.com/watch?v=j_46gmsrabQ&p=60902DE53D85A0E6&playnext=1&index=17
Corazón chopcca
*Desgraciada:
http://www.youtube.com/watch?v=MFboEOc1L3c&p=60902DE53D85A0E6&playnext=1&index=4
Soledad de tinquerccasa
* pucuy pucuycito:
http://www.youtube.com/watch?v=J_u_HuDRtgA&p=60902DE53D85A0E6&playnext=1&index=2
* Bandurria:
http://www.youtube.com/watch?v=zAIq6VXfME8&playnext=1&videos=c2Fda9b0L5U&feature=mfu_in_order
EL PUEBLO DE TUPE
Proximamente
EL NÚMERO DE ORO
Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro, representado habitualmente con la letra griega(fi) el número de oro es llamado también sección áurea, proporción áurea o razón áurea.
Quizás sea el número de oro el primer número irracional que conocieron los griegos. Cuando los pitagóricos descubrieron que existían números irracionales, es decir, que no podían escribirse como cociente de dos números enteros, quedaron consternados, ya que este hecho rompía muchos de sus teorías filosóficas. Por ello decidieron guardar este descubrimiento en secreto.
Hay números que han intrigado a la humanidad desde hace siglos. Valores como PI -la razón matemática entre la longitud de una circunferencia y su diámetro- o e -la base de los logaritmos naturales-, suelen aparecer como resultado de las más dispares ecuaciones o en las proporciones de diferentes objetos naturales. El número áureo - a menudo llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea o divina proporción- también posee muchas propiedades interesantes y aparece, escondido y enigmático.
El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." El valor de esta relación es un número que, como también demostró Euclides, no puede ser descrito como la razón de dos números enteros (es decir, es irracional y posee infinitos decimales) cuyo valor aproximado es 1,6180339887498...el numero de oro. Leer más, Clic aquí:
Aunque no sepamos muchos idiomas, hay uno que es universal: las matemáticas.
Cierto las matemáticas son un lenguaje. Y un lenguaje universal. Es la razón por los que científicos son capaces de comunicarse unos a otros aunque no comprendan el idioma con quien comparten su información. Pero lo más misterioso de todo es que las matemáticas son el único medio que tenemos para entender el mundo que nos rodea. El lenguaje con el que se expresa la naturaleza es el de las matemáticas y quien quiera leer ese libro debe aprenderlas, tiene que ser el medio que nosotros usamos para interpretar los hechos del mundo.
A diario se escucha “las matemáticas nunca fueron mi fuerte” o “no me hables de matemáticas; yo soy de letras”. Incluso a veces podemos escuchar a nuestro interlocutor vanagloriarse de que no tiene ni idea de matemáticas, que a él le basta con sumar y restar.
Este comportamiento forma parte de cierta corriente social donde está bien visto declararse analfabeto en cualquier cuestión relacionada con las ciencias. Por desgracia, las consecuencias del anumerismo matemático son graves. La vida cotidiana está repleta de situaciones donde un conocimiento elemental de matemáticas resulta fundamental para tomar una decisión adecuada. Esto es especialmente exagerado en nuestra percepción de la probabilidad. Un ejemplo lo tenemos en la llamada "falacia del jugador". Supongamos que en la ruleta de un casino ha salido seis veces seguidas el color rojo. Los jugadores suelen pensar que en la partida siguiente hay más posibilidades de que salga negro cuando en realidad hay la misma que antes, un 50%.
Esta ceguera ante las probabilidades es aún más marcada cuando queremos analizar situaciones de riesgo. Sabemos distinguir entre lo que no comporta ningún riesgo y lo que sí lo tiene. Sin embargo, somos incapaces de diferenciar entre un acto que tiene, por ejemplo, un 1/10.000 de riesgo de otro con un 1/100. Lo que nos preocupa no es si el riesgo es alto o bajo, sino que existe riesgo.
Un ejemplo está en el caso de los accidentes de avión. Dejando a un lado las fobias, algunas personas no quieren volar por el temor a un accidente.
Estos ejemplos nos demuestran que el ser humano no sabe estimar probabilidades de manera intuitiva; necesitamos aprender a hacerlo. Nuestro cerebro tiene la manía de hacernos creer que un acontecimiento es muy probable de que ocurra, no basándose en pulcros cálculos probabilísticos, sino por un motivo mucho más mundano: cuanto más fácil nos resulte imaginarlo mentalmente y cuanto más nos impresione emotivamente.
Al parecer en esta vida sólo hay dos cosas ciertas: la muerte y los impuestos. Y es verdad. El resto de las cosas nos pueden o no nos pueden suceder. En fin, que nuestra vida está gobernada por la probabilidad.
TRABAJOS DE INVESTIGACIÓN
Análisis Cualitativo del Comportamiento Dinámico de Sistemas Autónomos Bidimensionales
Alberto Gutiérrez Borda
ABSTRACT
The work has its center of study on the stability of autonomous systems. Starts by analyzing the case of linear differential equations of second order with constant coefficients, focusing on the nature of their roots; they are of several cases. The emphasis is on critical point (0, 0), characterized by nodules, centers, spirals, point of chair, neighboring nodules; all this, coupled with their stability, asymptotically stable and not stable.
The results allow a decision-making on a wide variety of problems, which in this case, they did not need to be resolved in an explicit way, if not that, you can remove qualitative information, through the interpretation of its stability near equilibrium points.
http://alguborda.blogdiario.com/img/ti_teoria_cualitativa.pdf
Caracterización de lugares geométricos y la complejidad de la dimensión fractal
Alberto Gutiérrez Borda
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica, Perú
ABSTRACT
To understand and to explain the diverse natural phenomena and to understand the world, already it is not sufficient entire dimensions. This work answers question: does complexity exist to obtain a fractal dimension associated with different curves and sets? The response to questioning this one, it associates to the intention of explaining, the measure of sets, indicating his theoretical and numerical estimation of the fractal dimension.
As consequence of the discussion of the concept of dimension and the characterizations of objects, it allows to conclude that there is a substantial difference between the Euclidean geometry and the fractal geometry; generated by new concepts as: autosimilarity, autosimilarity, dimension on a large scale, Hausdorff's dimension, dimension topológica and fractal objects.
http://alguborda.blogdiario.com/img/ti_fractal.pdf
Extensión de la Solución de la Ecuación
Diferencial No Lineal de Riccati
Alberto Gutiérrez Borda
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica, Perú
ABSTRACT
The present work is descriptive explanatorily, whose intention in general takes root in looking for alternative solutions to the problem of the differential ordinary not linear equations.
The investigation considers to be a referential frame, principally the differential equation of the form, known as Ricatti's equation, and that certainly has an appropriate transformation that linearizes and solves the equation.
With this referential frame, the central question to answering is is it possible to extend the solution of Riccati's equation? Affirmative response that one finds with the application of a conventional transformation and the new transformation.
The obtained results are valid, since they allow to apply these transformations in differential ordinary non-linear equations of orders and top degrees, to deduce what types of equations can be linearized, since there exist differential non-homogeneous equations of the first order and degree two that cannot be reduced to the linear one on having applied the conventional transformation.
Key words: not linear Equation, Riccati's equation
http://alguborda.blogdiario.com/img/ti_riccati.pdf
Transformaciones Integrales: de la Transformada de
Radón a la Transformada de Hough
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica, Perú
ABSTRACT
This paper investigates the mathematical process of the Radon transform, which makes the possibility of determining attenuation coefficients from a finite set of integrals of intersecting straight line on the section of the space study.
The problem is limiting the use of Radon transform type for other figures such as circles or ellipses. We describe an approach through which they can extend the Radon transform and other methods to reduce its complexity.
We note the method of accumulation and generalization of the Radon transformed to Hough. We show that both sets of points of adjustment to achieve geometric shapes (lines, circles, ellipses), the identification of transformations (translations, movements, transformations related) can be made from this new method.
Keywords: Radon transform, image formation.
http://alguborda.blogdiario.com/img/ti_radon.pdf
Análisis y Controversia Acerca de las Ecuaciones
Cúbica y Cuártica
Alberto Gutiérrez Borda
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica, Perú
Develop the elementary methods of the solution of these equations, obtained and explained by distinct civilizations and characters, to part of a systematic process.
Key Words: Equation cubic, theory of Galois, philosophy of the mathematics.
CIENCIAS GALILEY
Si estas interesado en las ciencias, puedes encontrar una ayuda mediante recursos multimedia y contenidos prácticos para la comprensión de las asignaturas de física, matemáticas o química. En el bachillerato o en estudios primarios, memorizamos muchas fórmulas y datos que creemos son fundamentales para aprenderlas y sobre todo para aprobarlas. Con este método no conseguiremos ninguna de las dos cosas y, lo que es peor, perdemos una oportunidad para comprender y entender fenómenos y hechos cotidianos que son importantes en nuestra vida. ¿Quieres saber un poco de ciencia? Clic aquí:
http://www.acienciasgalilei.com/index.htm
Un pensamiento sobre la filosofía de la educación que a mí me parece muy apropiado. Es este de Gibran Khall:
“El maestro que pasea a la sombra del templo, rodeado de discípulos, nada da de su sabiduría, más sí de su fe y de su ternura.
Si es verdaderamente sabio, no os conducirá a entrar a la mansión de su saber, sino antes os conducirá al umbral de vuestra propia mente.
El astrónomo podrá hablaros de su comprensión del espacio, mas no podrá daros su comprensión.
El músico podrá cantar para vosotros el ritmo que existe en todo el Universo, mas no podrá daros el oído que capta la melodía, ni la voz que la repite.
Y el versado en las ciencias de los números podrá hablaros del mundo de los pesos y las medidas, pero no podrá llevaros hasta él.
Porque la visión de un hombre no presta sus alas a otro hombre.
Y así como cada uno de vosotros se mantiene solo en el conocimiento de Dios, así cada uno de vosotros debe tener su propia comprensión de Dios y su propia interpretación de las cosas de la Tierra”.
Cosmos
http://www.acienciasgalilei.com/videos/cosmos/1-3-calendario-cosmico.wmv
Biblioteca de Alejandría el tesoro perdido
http://www.acienciasgalilei.com/videos/cosmos/1-1-cosmos-biblioteca-alejandria.wmv
Eratóstenes medición de la tierra
http://www.acienciasgalilei.com/videos/cosmos/1-2-cosmos-eratostenes-medir-la-tierra.wmv
Velocidad de la luz
http://www.acienciasgalilei.com/videos/cosmos/2-1-la-velocidad-luz.wmv
Relatividad
http://www.acienciasgalilei.com/videos/cosmos/2-2-relatividad.wmv
Viajando e el espacio
http://www.acienciasgalilei.com/videos/cosmos/2-3-viajar-espacio.wmv
Viajando en el tiempo
http://www.acienciasgalilei.com/videos/cosmos/2-4-viajar-tiempo.wmv
Formando mundos
http://www.acienciasgalilei.com/videos/cosmos/2-5-formando-mundos.wmv
Formando vida
http://www.acienciasgalilei.com/videos/cosmos/2-6-formando-vida.wmv
MARTIN GARDNER
Acaba de fallecer a los 95 años
El matemático y divulgador Martin Gardner, columnista de juegos matemático de Scientific American durante 25 años, fundador en 1976 de lo que ahora es el Comité para la Investigación Escéptica (CSI), estudioso de Lewis Carroll y amigo de Isaac Asimov, acaba de fallecer a los 95 años de edad. Escribió más de setenta libros a lo largo de su vida. Aquí, seis de sus obras para rendirle homenaje.
*ACERTIJOS DIVERTIDOS Y SORPRENDENTES
"Una isla está habitada por dos tribus. Los miembros de una tribu siempre dicen la verdad, los miembros de la otra tribu mienten siempre." Así empieza uno de los muchos acertijos creados por Martin Gardner. En concreto en este libro el divulgador reúne una entretenida colección de acertijos, adivinanzas, ilusiones ópticas y problemas de deducción y observación.
*¡AJÁ! INSPIRACIÓN
Martin Gardner profundiza en este libro en el concepto de la inspiración creativa. Lo que él llama “inspiración ajá”, ese chispazo mental imaginativo, repentino e intuitivo, es lo que ha empujado a muchos genios de la humanidad a realizar sus descubrimientos y a repetir en voz alta el famoso “¡Eureka!” (¡Lo encontré!), de Arquímedes.
*MATEMATICAS PARA DIVERTIRSE
Las matemáticas, especialmente las matemáticas recreativas (planteadas como problemas de ingenio o directamente como juegos) son una fuente de diversión y de creatividad, individualmente o en grupo. Por suerte, escritores como Martin Gardner han dedicado impagables esfuerzos a hacérnoslo comprender.
*¡AJA!: PARADOJAS QUE HACIAN PENSAR
Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, las paradojas nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber cómo se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás cómo hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto. Las matemáticas no solo pueden ser divertidas, sino que encierran una fabulosa mezcla de sorpresa y de aprendizaje.
*¿TENIAN OMBLIGO ADAN Y EVA?: LA FALSEDAD DE LA SEUDOCIENCIA AL DESCUBIERTO
¿Se pueden curar las enfermedades bebiendo la propia orina? Cuestiones risibles como estas parecen ocupar las mentes de millones de personas día tras día, como si la gente estuviera hambrienta de cualquier migaja de conocimiento que se dé aires de ciencia, dispuesta a adoptar teorías traídas por los pelos que sólo provocan miedo y asombro. Gardner, posiblemente el desenmascarador de fraudes científicos más inteligente de nuestra época, hace uso de sus décadas de experiencia para desbaratar las proclamaciones de la Nueva Era y las dudosas investigaciones de eminentes científicos.
*ALICIA ANOTADA
Este libro es una edición comentada por Martin Gardner de las dos Alicias de Carrol –Alicia en el país de las maravillas y Alicia a través del espejo-. En él se desvelan los numerosos acertijos, juegos y símbolos matemáticos que incluyó en su obra Charles Dogson (Lewis Carroll).
MATEMÁTICA DE LAS RELACIONES DE PAREJA ¿Por qué rompen las parejas a pesar de prometerse amor eterno? José Manuel Rey, profesor del Departamento de Análisis Económico de la Universidad Complutense de Madrid, ha elaborado un modelo matemático basado en la segunda ley de la termodinámica y en las ecuaciones de control óptimo utilizadas habitualmente por los ingenieros de la NASA para explicar por qué se terminan las relaciones sentimentales. Leer más, clic aquí http://www.plosone.org/article/info:doi/10.1371/journal.pone.0009881
Los expertos están de acuerdo en la existencia de una especie de la segunda ley de la termodinámica de las relaciones de Pareja, según la cual hace falta un cierto esfuerzo para mantenerse juntos, según explica Rey. Según sus resultados, mantener el amor a largo plazo "es algo muy costoso y, con excepciones, casi imposible". “El dicho popular de que el amor no es suficiente se cumple y sugiere que la ‘erosión’ de las relaciones debe prevenirse de algún modo”.
Las relaciones duraderas son aquellas en las que se mantiene el equilibrio, de modo que ambos miembros se esfuerzan, sin descuidar en ningún momento la relación a pesar de que “la dinámica de las cosas, la inercia, hace que uno tienda a relajarse y a esforzarse cada vez menos”. Además, según el investigador, el esfuerzo es siempre mayor del que uno puede prever al principio de la relación. Eso explica lo que él llama la “paradoja del fracaso”, es decir, por qué muchas personas se casan enamoradas y comprometidas a vivir juntas para siempre pero no lo consiguen. El modelo matemático es bastante desalentador, "especialmente si lo aplicamos a la sociedad en la que vivimos, en la que prevalecen las políticas de poco esfuerzo y mucha recompensa".
ESCRITO EN EL CIELO
Durante siglos, los fenómenos astronómicos han sido tomados como señales iniciáticas para adivinar el futuro o explicar los males del presente. Miguel Ángel Sabadell reseña el papel que la superstición y la astrología han jugado en la historia de la humanidad.
Por ejemplo, según una leyenda muy extendida, durante la II Guerra Mundial los líderes nazis tomaban sus decisiones en función de las predicciones astrológicas.
Los mongoles miraban con frecuencia al cielo, donde veían presagios y augurios: la campaña contra la provincia china de Hunan se detuvo en mayo de 1221 precisamente a causa de un eclipse de sol.
La posición de los astros también se ha tomado como presagio de fenómenos funestos.
El poder de anticipar el futuro le corresponde, por su parte, a otros cuerpos errantes: los cometas. El más famoso es el halley, cuya primera aparición registrada en Occidente data de 1066. Su paso fue para los cronistas de la época el augurio de la derrota del último rey sajón, Harold II de Inglaterra, lo que ocurrió unos meses después en la batalla de Hastings. muerte de Claudio, que en realidad fue envenenado.
Las ominosas profecías que históricamente se han relacionado con los cometas han llegado a generar auténticos estallidos de pánico. Seguramente, el caso más famoso tuvo lugar en 1910, con el regreso del siempre aciago Halley. Para echar más leña al fuego, los astrónomos declararon que la cola del cometa iba a cubrir nuestro planeta y que en ella se había encontrado un terrible gas venenoso, el cianógeno.
En todo el mundo, desde Francia hasta Haití, desde EE UU hasta Sudáfrica, se construyeron habitaciones a prueba de gases, y no eran extraños titulares de periódico del estilo Las mujeres cierran puertas y ventanas para resguardarse del cianógeno. Suicidios e intentos de suicidio, ataques de locura y de pánico, asesinatos, hasta la falsa historia del sacrificio de una virgen por una secta en Oklahoma, todo se atribuyó al cometa.
El astrofísico Bradley E. Schaefer, hoy en la Universidad Estatal de Louisiana, ha realizado un catálogo con 35 de estos cuerpos celestes vistos como augurios por los antiguos romanos: de ellos, sólo 2 se identificaron como presagios de algo bueno. Los estudios etnográficos confirman que estos objetos suelen ser vistos como portadores de malas nuevas en todo el mundo.
Leer más, hacer clic aquí:
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO I
SILABO
http://alguborda.blogdiario.com/img/silabo_am1.pdf
PRÁCTICAS
Práctica 1: Números reales, ecuaciones, inecuaciones, valor absoluto, teoremas afines, ver hoja de práctica, clic aquí:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica1_am1.pdf
Práctica 2: Limites de una función real de una variable real, teoremas afines, ver hoja de práctica, clic aquí:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica2_am1.pdf
Práctica 3: Funciones continuas, teoremas afines, ver hoja de práctica, clic aquí:
Práctica 4: Derivada de una función real, teoremas afines, ver hoja de práctica, clic aquí:
Práctica 5: Aplicaciones de la derivada, teorema de Roll, máximo y mínimos, ver hoja de práctica, clic aquí:
REFERENCIAS
1.Análisis Matemático
Carlos Ivorra Castillo
http://www.uv.es/ivorra/Libros/Analisis.pdf
2.Problemas de Análisis Matemático
ANÁLISIS COMPLEJO
Un Poco de Historia
¿Qué es el análisis complejo?
Algunos Resultados
El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces en el siglo XIX e incluso algo antes. Los nombres destacados en su desarrollo son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y muchos más en el siglo XX. Tradicionalmente, el análisis complejo, en particular la teoría de las aplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones en ingeniería, pero es ampliamente usada también en teoría de números analítica.
leer más, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/apuntes1_ac.pdf
SEIS PLANETAS QUE GIRA AL REVÉS
Un equipo de astrónomos suizos ha identificado seis planetas extrasolares que orbitan en dirección contraria a la rotación de su estrella. El hallazgo, presentado en la Reunión Nacional de Astronomía de la Royal Society británica que se celebra esta semana en Glasgow (Escocia), supone un desafío a las actuales teorías sobre la formación planetaria.
Hasta ahora se creía que todos los planetas se formaban a partir de un disco compuesto de gas y polvo, conocido como proto- planetario, que gira alrededor de una estrella en su mismo sentido, como ocurre en nuestro sistema solar. No obstante, cuando el Buscador Gran Angular de Planetas (WASP) detectó 9 exoplanetas nuevos y los astrónomos los compararon con una muestra más amplia de otros 27, comprobaron que 6 tenían una "moción retrógrada", es decir, que orbitaban en la dirección "equivocada", contraria a la estrella.
Además, se trataba de exoplanetas del tipo "Júpiter caliente" (gigantes gaseosos que orbitan muy cerca de sus estrellas principales), cuyo origen ha constituido un rompecabezas para la comunidad científica.
Según los científicos, una posible explicación al comportamiento "rebelde" de estos exoplanetas sería "un tira y afloja" gravitatorio con estrellas o planetas más distantes, en un proceso que duraría cientos de millones de años.
Más información, clic aquí:
ARTE CREATIVIDAD Y MATEMÁTICA
El arte y las matemáticas han estado estrechamente unidos a lo largo de la historia. El popular número dorado que fascinó a Leonardo da Vinci, la búsqueda de la fórmula matemática de la belleza y los trabajos de Escher son tres conocidos ejemplos, pero además las matemáticas tienen mucho que ver con el cine, el arte contemporáneo, la pintura, la fotografía y, por supuesto, con el llamado octavo arte: los videojuegos.
Sabemos que, un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño; es el llamado número de oro, representado habitualmente con la letra griega
Unas proporciones armoniosas
para el cuerpo,que estudiaron
los Griegos y Romanos, los
plasmó en este dibujo Leonardo
Da Vinci.
¿Existe algún lugar o espacio en el mundo, que vincule el arte y la creatividad matemática? La respuesta es casi nada; por eso es importante la apertura de MathsLAB.
MathsLAB, Es un espacio donde aborda la relación entre arte, creatividad y matemáticas, queda en Gijón (Asturias), Lo interesante de este Centro es que es el único en el mundo con estas características.
MathsLAB acogerá a grupos de escolares, que serán recibidos por monitores quienes les acompañarán en su recorrido y les propondrán talleres y actividades matemáticas relacionadas con el arte, la tecnología y la creatividad, abordables con sus conocimientos. Ojalá otros países incluyendo Perú, piensen en la creación de un Centro como este que sería de gran ayuda para aprender Matemáticas.
Más información CLIC AQUI
http://www.plataformasinc.es/index.php/esl/Reportajes/La-belleza-de-las-matematicas
REFLEXIONES
El Día Mundial del Agua, fecha establecida por la ONU, despierta reflexiones preocupantes, señalan cifras nada tranquilizadoras acerca de una de las crisis más graves del presente y futuro: la falta de agua.
Antecedente. El Día Mundial del Agua se concretó el 22 de marzo del 1993. Con fecha 23 de diciembre de 2003, la Asamblea General proclamó el periodo del 2005 al 2015 como el Decenio Internacional para la Acción, “El agua, fuente de vida”.
Toma de conciencia. Desde muy temprana edad conocemos que el planeta está prácticamente cubierto de agua (71% de la superficie terrestre), sin embargo, pocos saben que sólo el 2% de esa enorme cantidad puede ser consumida por el hombre.
El consumo de agua no potable provocan cada año más víctimas mortales en todo el mundo que cualquier tipo de violencia, incluida la guerra, según información vertida por la ONU. Hay informe que señalan que en todo el mundo sigue habiendo 884 millones de personas sin acceso al agua potable.
Las enfermedades que se propagan por el agua causan cada año la muerte a más de 1,5 millones de niños. El África subsahariana es la región en la que sus habitantes sufren las peores consecuencias.
Cada día, 2 millones de toneladas de aguas residuales son vertidos sin control alguno. El problema es más grave en los países en desarrollo, más del 90% de los desechos sin procesar y el 70% de los desechos industriales sin tratar se vierten en aguas superficiales.
El caso peruano. El caso del Perú no es uno de los más graves en el mundo, pero no deja de ser una situación similar a la de todos los países de Latinoamérica. Aquí, 3 mil 600 personas mueren cada año por beber agua contaminada, sobretodo en las zonas más pobres del país.
En la costa peruana se concentra el 70% de la población y solamente tiene un 1,8% de oferta de agua dulce, en un contexto en el que esta zona depende de las precipitaciones pluviales en la sierra para abastecerse de este recurso.
Más imformación CLIC AQUI:
http://www.unwater.org/worldwaterday/index_es.html
http://www.unesco.org/water/water_celebrations/index_es.shtml
Que significa aborigen
La palabra aborigen procede del latín ab origene y significa “desde el comienzo”. Aunque el término se utilizó por primera vez en Grecia e Italia hace varios siglos, fue hace aproximadamente 300 años cuando los ingleses popularizaron la palabra como sinónimo de “nativo australiano” o indígena de Australia.
Aborigen es un término amplio, que significa originario del suelo donde vive. Su uso más específico y común es en referencia al habitante perteneciente a una cultura que ya no es la predominante en un lugar y que ha cedido lugar a una nueva.
Los arqueólogos sospechan que los humanos llegaron a la plataforma continental australiana hace más de 40.000 años. Eran hábiles cazadores, expertos en camuflaje, y crearon algunas de las obras de arte prehistórico más sorprendentes que se conocen.
En la actualidad existen más de 400 pueblos aborigenes australianos, como los Koori, los Yamatji o los Yapa entre otros. Juntos representan en torno al 2,5% de la población australiana
Mas informacion:
http://www.definicion.de/aborigen/
LOS SIETE PECADOS CAPITALES
Una buena pregunta sería, ¿Quién estableció los siete pecados capitales? El origen se remonta al siglo IV, cuando el asceta Evagrio el Póntico – conocido como el Solitario– fijó en ocho las principales pasiones humanas pecaminosas: ira, soberbia, vanidad, envidia, avaricia, cobardía, gula y lujuria. Un siglo más tarde, el sacerdote rumano Juan Casiano redujo la lista a siete que conocemos hoy: lujuria, gula, avaricia, pereza, ira, envidia y soberbia. Pero se dice que fue el papa San Gregorio (540-604) quien los oficializó definitivamente con el orden señalado arriba, es empleado después por Dante en su Divina Comedia. Bueno, según Santo Tomás de Aquino, el calificativo capital no alude a la gravedad de estos pecados, sino a que de ellos emanan todos los demás.
Les recomiendo el libro: Los siete pecados capitales FERNANDO SAVATER
ANÁLISIS COMPLEJO
*TRABAJOS
PROBLEMAS PARA LA EXPOSICIÓN: Cada alumno deberá exponer dos problemas, la signación de problemas es aleatorio, se extrae del banco de preguntas de todas las prácticas encargados. Ver Documento, CLIC AQUI:
http://alguborda.blogdiario.com/img/asignacion_trabajos_ac.pdf
*TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
TRABAJO MONOGRÁFICO:
Asignación de temas para investigación, la monográfía se realiza grupal. Ver Temas, CLIC AQUI:
http://alguborda.blogdiario.com/img/trabajos_monograficos_ac.pdf
CÁLCULO I
SILABO
Sumilla: Números reales, limites, continuidad, derivadas, aplicaciones de la derivada. Leer silabo, CLIC AQUI:
http://alguborda.blogdiario.com/img/silabo_c1.pdf
PRÁCTICAS
PRÁCTICA 1: Los primeros teoremas aplicados a resolver ecuaciones e inecuaciones. Ver la práctica 1, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica1_c1.pdf
PRÁCTICA 2: Inecuaciones de orden superior, nivel medio, ver la práctica 2, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica2_c1.pdf
PRÁCTICA 3: Teoremas, ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, nivel medio, ver la práctica 3, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica3_c1.pdf
PRÁCTICA 4: Ejercicios y problemas relacionados con inecuaciones con radicales, exponenciales y logaritmicas, es de nivel medio, ver la práctica 4, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica4_c1.pdf
PRÁCTICA 5: Límite de una función real de una variable real, teoremas, ver la práctica 5, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica5_c1.pdf
PRÁCTICA 6: Diversas formas indeterminadas, teoremas, son de nivel medio, ver la práctica 6, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica6_c1.pdf
PRÁCTICA 7: Lìmites al infinito, límites infinitos, asíntotas, son de nivel medio, ver la práctica 7, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica7_c1.pdf
PRÁCTICA 8: Limites laterales, teoremas, Ver práctica 8, clic aquí:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica8_c1.pdf
PRÁCTICA 9: Asíntotas: vertical, horizontal y oblicua. Graficas de curvas, Ver práctica 9, clic aquí:
PRÁCTICA 10: Continuidad de funciones de una variable real, teoremas, Ver práctica 10, clic aquí:
PRÁCTICA 11: Derivada de una funcion real de variable real, teoremas, son de nivel medio, ver la práctica 11, clic aqui:
PRÁCTICA 12: Teorema sobre Derivadas, derivadas laterales, ecuaciones de la recta tangente y normal, derivada implícita, derivadas paramétricas, derivada de orden superior, ver la práctica 12, clic aqui:
PRÁCTICA 13: Aplicaciones de la derivada, máximos y mínimos, teorema del valor medio, teorema de Rolle, Problemas varios, Regla de L´Hospital, polinomios de Taylor, ver la práctica 13, clic aqui:
SEMINARIOS
SEMINARIO 1:
http://alguborda.blogdiario.com/img/seminario1_c1.pdf
SENINARIO 2:
http://alguborda.blogdiario.com/img/seminario2_c1.pdf
SEMINARIO 3:
http://alguborda.blogdiario.com/img/seminario3_c1.pdf
SOLUCIONARIO
PARCIAL 1: Ver solucionario, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/sol_par1_c1.pdf
APUNTES DE CLASES
FÓRMULAS SOBRE DERIVADAS: Reglas básicas para hallar la derivada de funciones. Ver fórmulas, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/apuntes1_Derivada_c1.pdf
REFERENCIAS
1. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
VOLUMEN 1
Larson_Hostetler-Edwards
2. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANÁLITICA
W. Swokowski
3. CÁLCULO I
Artemio Gonzales L.
ANÁLISIS COMPLEJO
PRÁTICAS
PRÁCTICA 1: Contiene ejercicios y problemas sobre números complejos: suma, diferencia, multiplicación, división, conjugadas, normas, potencia de i, teoremas; son de nivel medio, ver práctica 1, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/Practica1_ac.pdf
PRÁCTICA 2: Contiene ejercicios y problemas sobre argumentos, forma polar, potencias, ecuaciones y raíz, teoremas; son de nivel medio, ver práctica 2, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica2_ac.pdf
PRÁCTICA 3: Contiene ejercicios y problemas sobre funciones de variable compleja, transformación de imágenes, ver práctica 3, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica3_ac.pdf
PRÁCTICA 4: Contiene teorema principales y ejercicios sobre Limite de funcione complejas, ver práctica 4, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/Practica4_ac.pdf
PRÁCTICA 5: Contiene teorema principales y ejercicios sobre continuidad de funcione de variable complejas, ver práctica 5, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica5_ac.pdf
PRÁCTICA 6: Contiene teorema principales y ejercicios y problemas sobre derivada compleja, funciones holoformas, funciones analíticas, Condiciones de Cauchy_Riemann, ver práctica 6, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica6_ac.pdf
PRÁCTICA 7: Contiene ejercicios y problemas sobre funciones holoformas que admiten integración compleja, integración a lo largo de un camino, longitud de un camino suave, teorema de Cauchy, ver la práctica 7, clic aqui: http://alguborda.blogdiario.com/img/practica7_ac.pdf
SILABO
Contiene: Números complejos,funciones de variable compleja, limites y continuidad, funciones holomorfas, integral compleja, bajar sílabo, clic aquí:
http://alguborda.blogdiario.com/img/silabo_ac.pdf
SOLUCIONARIO
Práctica 1: ver Solucionario, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/sol_p1_ac.pdf
Práctica 2: ver solucionario, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/sol_p2_ac.pdf
Parcial 1: ver solucionario, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/sol_par1_ac.pdf
REFERENCIAS
* Funciones de Variable Compleja
Carlos Ivorra Castillo
Ver libro, clic aquí:
http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Varcom.pdf
* Curso de Análisis Complejo
Francisco J. Pérez Gonzales
Ver libro, clic aquí:
http://www.ugr.es/~fjperez/textos/funciones_variable_compleja.pdf
* Variable Compleja
Hans Cristian Muller Santa Cruz
Ver libro, clic aquí:
http://www.umss.edu.bo/epubs/etexts/downloads/11.pdf
* Variable Compleja
José D. Sánchez Hernández
Ver libro, clic aquí:
http://www.branchingnature.org/Variable_Compleja_Sanchez_H.pdf
* Variable Compleja
Artemio Gonzales López
Ver libro, clic aquí:
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/agonzalez-variablecompleja.pdf
* Análisis de Funciones de Variable Compleja
Juan Sacerdoti
Ver libro, clic aquí:
http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/Vc01.pdf
* Ejercicios de Funciones de Variable Compleja y Geometría Diferencial
Martín Rivas
Ver libro, clic aquí:
http://tp.lc.ehu.es/documents/problemas.pdf
* Prácticas de Variable Compleja
Departamento de Análisis Matemático
Ver libro, clic aquí:
* Teoría de Funciones de Variable Compleja
Bienvenido Cuartero y Francisco J. Ruiz
Ver libro, clic aquí: http://www.ce-mat.org/cdc/Variable_compleja.pdf
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA
*PRÁCTICAS
PRACTICA 1.- Contiene ejercicios y problemas sobre el espacio vetorial bidimensional, Ver la práctica 1, clic aquí:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica1_ig.pdf
PRÁCTICA 2.- Contiene ejercicios y problemas sobre el espacio vetorial bidimensional, Ver la práctica 1, clic aquí:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica2_ig.pdf
PRÁCTICA 3.- Contiene ejercicios y problemas sobre ecuaciones de la recta en el plano. Ver práctica 3, clic aquí:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica3_ig.pdf
PRÁCTICA 4.- Contiene ejercicios problemas sobre ecuaciones de la recta en el espacio. Ver práctica 4, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica4_ig.pdf
PRÁCTICA 5.- Contiene ejercicios problemas sobre ecuaciones del plano. Ver práctica 5, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica5_ig.pdf
*SILABO
Contiene: Espacio vectorial, cónicas, transformaciones, cuadráticas. Leer silabo, Clic aquí:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS I
*SILABO
Silabo del curso de ecuaciones diferenciales ordinarias I, ver sílabo, clic aquí:
http://alguborda.blogdiario.com/img/silabo_ed1.pdf
*PRÁCTICAS
Práctica 1: Definiciones básicas, clic abajo:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica1_ed1.pdf
Práctica 2: Generacion de ecuaciones diferenciales. Ver prácticas, clic abajo:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica2_ed1.pdf
Práctica 3: Valores iniciales, campos direccionales, teorema básico, clic abajo:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica3_ed1.pdf
Práctica 4: Ecuaciones Diferenciales exactas, clic abajo:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica4_ed1.pdf
Práctica 5: Ver prácticas, clic
Práctica 6: Ver prácticas, clic abajo:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS II
*SILABO: Próximo curso
*PRÁCTICAS
Práctica 1: Contiene ejercicios y problemas sobre serie de potencias, intervalo de convergencia, serie de Taylor. Ver hoja de práctica, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica_ed2.pdf
Práctica 2: Contiene ejercicios y problema ssobre soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series de potencia alrededor de un punto ordinario.Ver hoja de
práctica, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica2_ed2.pdf
Práctica 3: Contiene ejercicios y problema ssobre soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series de FROBENIUS, alrededor de un punto singular regular. Ver hoja de práctica,
clic aqui:http://alguborda.blogdiario.com/img/practica3_ed2.pdf
Práctica 4: Contiene ejercicios y problemas sobre Sistema lineal de ecuaciones diferenciales Homogéneas con coeficientes constantes. Ver hoja de práctica, clic aqui: http://alguborda.blogdiario.com/img/practica4_ed2.pdf
Práctica 5: Contiene ejercicios y problemas sobre transformada de Laplace. Ver hoja de práctica, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica5_ed2.pdf
Práctica 6: Contiene ejercicios y problemas sobre transformada inversa de Laplace. Ver hoja de práctica, clic aqui: http://alguborda.blogdiario.com/img/practica6_ed2.pdf
Práctica 7: Contiene ejercicios y problemas sobre solución de ecuaciones diferenciales mediante transformada de Laplace. Ver hoja de práctica, clic aqui:
http://alguborda.blogdiario.com/img/practica7_ed2.pdf
REFERENCIAS
* INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Noemí Wolanski
Trata la descripción de algunos métodos de resolución de ecuaciones de primer orden. Existencia y unicidad de soluciones. Sistemas lineales de primer orden y ecuaciones lineales de orden n. Resolución de sistemas lineales con coeficientes constantes. Ecuaciones lineales de orden n con coeficientes constantes. Comportamiento asintótico de las soluciones. VER LIBRO, CLIC AQUÍ:
http://www.sectormatematica.cl/librosmat/ec_diferenciales.pdf
* ECUACIONES DIFERENCIALES
Álvaro Tejero Cantero, Pablo Ruiz M
Curso introductorio a las ecuaciones diferenciales, operacional y con numerosos ejemplos y figuras. Trata sistemas lineales, sistemas autónomos y soluciones por medio de series de potencias. VER LIBRO, CLIC AQUI:
http://rinconmatematico.com/alqua/edo/EDO-1_00.pdf
20 MATEMÁTICOS REPRESENTATIVOS EN LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA
Muchos son los Matemáticos que contribuyeron al desarrollo de la Ciencia, pero 20 pueden ser los más representativos en esta historia, la lectura tiene importancia para comprender como se va sistematizando la matemática. Ver articulo, clic aquí:
http://alguborda.blogdiario.com/img/articulo1_20matematicos.pdf
Docente Universitario Doctor en Educación Matemáticas Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Ica_Perú
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